A 对单位圆的变形
黑虚线：输入向量 红实线：Ax
单位圆的像λ₁ 特征轴λ₂ 特征轴输入向量
工程数学·线性代数（第六版）｜第5章 §2、§5、§7、习题30
特征值与二次型·主轴图册
转动一个向量、改变一个对称矩阵，看见“保持方向的伸缩轴”怎样同时成为二次型等高线的主轴，并决定单位圆上二次型的极值与正定性。
λ₁（最大特征值）
λ₂（最小特征值）
主轴角 φ
二次型类型
xᵀAx 的等高线主轴
同一个 P 同时完成两件事
det(A−λI)=λ² λ =0
f(x,y)=
PᵀAP=diag()
- 输入对称矩阵 A
- 方程特征多项式
- 中间量λ 与特征方向
- 图形主轴与等高线
- 结论正定性
直接拖动，观察等高线变形
a、b、d 同时改变主轴方向、开口和正定性
单位圆上的方向二次型 R(θ)
沿单位向量 u(θ) 走一圈，记录 R(θ)=uᵀAu；最高点和最低点恰好落在两条特征轴上。
拖动方向与矩阵，曲线立即重画
θ 移动探针；a、b、d 改变整条 R(θ) 曲线
旋转坐标轴，观察 xy 交叉项消失
左侧把新坐标轴旋转 ψ；右侧记录新矩阵非对角元 b′(ψ)。当 ψ 对准特征轴 φ 时，b′=0。
四处教材内容，实际是一条结构链
特征方向
Ax=λx 表明特征向量经过 A 后仍与原方向共线；det(A−λI)=0 决定允许的 λ。
二次型主轴
对称矩阵可用正交矩阵 P 对角化；同一组正交特征向量就是二次曲线的主轴方向。
正定判据
xᵀAx 对所有非零 x 都为正，当且仅当 A 的全部特征值为正；二维时也等价于 a>0 且 det A>0。
单位球面极值
在 ‖x‖=1 上，xᵀAx 的最大值是 A 的最大特征值。上方曲线直观呈现极值位置，但不替代教材要求的证明。
为什么普通输入向量通常会转向，特征向量却不会？
普通向量可以分解为两个特征方向上的分量，A 会分别按 λ₁、λ₂ 缩放它们；若缩放倍率不同，合成方向就改变。只有完全落在某条特征轴上的向量始终只受一个倍率作用，因此保持共线。